- 中文名
- 幂级数
- 作 用
- 数学分析
- 对 象
- 级数
- n
- 级数项序号
- 领 域
- 实变函数、复变函数等
- 定义1
- 函数列 ， 则称为函数项级数。
幂级数简介
编辑
幂级数
定义1
设函数列u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...都在区域I上有定义，则表达式
u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...称为定义在I上的函数项级数。
定义2
取x0属于I，则函数项级数u1(x0),u2(x0),u3(x0),...,un(x0),...则称为常数项级数。
若该常数项级数收敛，则称x0为的收敛点；
若该常数项级数发散，则称x0为的发散点。
定义3
函数项级数的收敛点全体的集合称为其收敛域，发散点全体的集合称为其发散域。
定义4
对于任意一点x，级数u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...所确定的和应该是x的函数，记作：
s(x)=u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...（x属于I）.
s(x)称为定义在I上的和函数。
定义5
若用sn(x)表示函数项级数的前n项的和，
则在收敛域上有rn(x)=s-sn(x)，rn(x)称为余项。
幂级数幂级数
编辑幂级数的有关概念
定义6 具有下列形式的函数项级数
（1）称为幂级数。
幂级数
特别地，在中令即上述形式化为
幂级数
（2）称为 的幂级数。
取为常数项级数，如收敛，其和为
取为常数项级数，如收敛，其和为
取为和函数项级数，总收敛，其和为
对幂级数主要讨论两个问题：
（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数。
幂级数的收敛域具有特别的结构
定理1：（i）如 在 收敛，则对于满足 的一切 ， 都绝对收敛；
（ii）如 在 发散，则对于满足 的一切 ， 发散。
证：（1）∵ 收敛
∴ （收敛数列必有界）
而 为几何级数，当 即收
∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛
（2）反证：如存在一点 使 收
则由（1） 收，矛盾。
由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使 收敛； 发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。
幂级数的收敛域及其求法
定理2：如幂级数 系数满足 ，
则（1收敛区间为（-R，R）；
幂级数
（2）收敛区间为（－∞，+∞）；
幂级数
（3）幂级数 仅在一点x=0处收敛。
注意：当时， 的敛散性不能确定，要讨论 的敛散性，从而求得收敛域。
例1：求下列幂级数的收敛域。
（1） （2） （3）
解：（1） ， 故 ，
当 时， 原级数为 为交错级数，满足
¬ ， ∴ 收敛；
当 时， 原级数为 发散，
∴ 收敛域为
解（2）由于 ∴ 故收敛域为 。
解（3）
令 ∴ 。
当 时，
原级数为
∴ 发散；
同理 时， 级数也发散 ，
∴收敛域
幂级数的性质
定理
求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：
幂级数幂级数的和函数
编辑若对幂级数中的每一个x都有a0+a1x+a2x2+…+anxn+…=S(x)，则称S(x)为幂级数的和函数。
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