圆的标准方程

X²+Y²=1 ，圆心O（0，0）被称为1单位圆；

x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r；

(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。

确定圆方程的条件

确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：

根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²；

根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。

(x-a)²+(y-b)²=r²

在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。

圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。

所以

两边平方，得到(x-a)²+(y-b)²=r²

x²+y²+Dx+Ey+F=0

此方程可用于解决两圆的位置关系

配方化为标准方程：

其圆心坐标：

半径为

此方程满足为圆的方程的条件是:

D²+E²-4F>0

若不满足,则不可表示为圆的方程

已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（X，Y）。则有：向量AC*BC=0； 可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程。

点P（X₁,Y₁) 与圆 (x－a)²+(y－b) ²=r²的位置关系：

⑴当(x₁－a)²+(y₁－b) ²>r²时，则点P在圆外。

⑵当(x₁－a)²+(y₁－b) ²=r²时，则点P在圆上。

⑶当(x₁－a)²+(y₁－b) ²<>

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)²+(y－b) ²=r²。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<>

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离；

当x1<>

半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的标准方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²;

x²+y²+Dx+Ey+F=0

=> (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4

=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

其实只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

圆上一点的切线方程

(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点（X0，Y0）该点的切线方程：

（X-a)（X0-a)+（Y-b）（Y0-b)=r*2

如果在平面直角坐标系中还可以直接将

直线方程： 与圆的方程: 联立得出

若 >0 则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交；

若 =0 则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切；

若 <0 则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。

如果直线方程y=kx+m，圆的方程为（x-a)²+（y-b)²=r²,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px²+Qx+R=0(P≠0),那么：

a.当△<0时，直线与圆没有公共点；

b.当△=0时，直线与圆相切；

c.当△>0时，直线与圆相交。

求出圆心到直线的距离d，半径为r
　　d>r，则直线与圆相离
　　d=r，则直线与圆相切
　　d<>

①计算两圆的半径，r1，r2；

②计算两圆的圆心距d；

③根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.

若两圆的方程分别为C1：(x－x1)²+(y－y1)²=r1²，C2：(x－x2)²+(y－y2)²=r2²：

则两圆外离r1+r2<>

两圆外切r1+r2=d；

两圆相交|r1－r2|<><>

两圆内切|r1－r2|=d；

两圆内含|r1－r2|>d.

经过两圆x²+y²+D1x+E1y+F1=0与x²+y²+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：

x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)

例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

解：圆x²+y²=25和(x-1)²+(y-1)²=16的公共弦方程为

x²+y²-25-[(x-1)²+(y-1)²-16]=0，即2x+2y-11=0

过直线2x+2y-11=0与圆x²+y²=25的交点的圆系方程为

x²+y²-25+λ(2x+2y-11)=0，即x²+y²+2λy+2λx-(11λ+25)=0

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4

代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)²+(y-11/4)²=79/8

注：此方程不可表示x²+y²+D2x+E2y+F2这个方程，即当所求方程就是方程x²+y²+D2x+E2y+F2时用x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0无法求到方程。所以使用该方程需要检验方程x²+y²+D2x+E2y+F2=0是否是符合题意。

例：求过方程（x+1）²+（y+1）²=1和（x-3）²+（y-2）²=25两交点且过点（-2,2）的方程。

此时（x-3）²+（y-2）²=25即为所求方程，若用上述设法x²+y²+2x+2y+1+λ（x²+y²-6x-4y-12)=0而不检验，则会无解，实际上漏解了。

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，一个端点绕它的另一个端点旋转一周，所留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O,C表示小学初中一般用圆O，高中一般用圆C来表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

一、选择题

2.圆(x-3)²+(y-3)²=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.使圆(x-2)²+(y+3)²=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2， -3)

4.若直线x+y=r与圆x²+y²=r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2

5.直线x-y+4=0被圆x²+y²+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4

二、填空题

6.过点P(2，1)且与圆x²+y²-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .

7.设集合m={(x,y)|x²+y²≤25},N={(x,y)|(x-a)²+y²≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是 .

8.已知P(3，0)是圆x²+y²-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是 .

三、解答题

9.已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.

10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+x 有两个不同的交点，求实数k的取值范围.

1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.( , )