高等概率论基础及极限理论

概率论是研究随机现象的一门数学分支. 投掷一枚硬币是一种非常简单的随机现象，投掷之前我们并不知道结果会出现正面还是反面，然而这看似“完全随机”的背后隐藏着其本身所固有的规律，概率论的主要目标就是揭示随机现象中所蕴含的各种规律 . 数理统计是与概率论有着密切关系的一门学科 . 关于概率论与数理统计，中科院数学与系统科学研究院的严加安院士写有如下诗句：

悟道诗,随机非随意, 概率破玄机,无序隐有序 , 统计解迷离.

近年来，概率论在数学中的地位显得越来越高了. 2006年 G. Perelman, A. Okounkov, W. Werner与 T. Tao获得菲尔兹奖，其中， A. Okounkov因在概率、表示论与代数几何之间建立起桥梁与纽带而获奖， W. Werner因对发展随机共形映射、布朗运动二维空间的几何学以及共形场理论作出了突出贡献而获奖 . 2006年 K. It.获得首届高斯奖， K. It.对随机微分方程的创立与发展作出了突出贡献 , 随机微分方程在经济、金融等众多领域发挥着重要的作用 . 2007年美籍印度数学家 S. R. S. Varadhan获得阿贝尔奖， Varadhan先生因对概率论作出的贡献，特别是建立一个大偏差统一理论而获得奖项 . 2010 年 E. Lindenstrauss, N. B. Chau, S. Smirnov与 C. Villani获得菲尔兹奖，其中后两位的获奖工作都与概率论有关 .

概率论在图论、组合、数论等领域有着重要的应用，着名数学家 P. Erd.s创立了一种特有的方法，称为概率方法，又称为 Erd.s方法. 粗略地讲，本方法指的是为证明某种离散结构存在，构造一个合适的概率空间，然后证明那种结构在这个概率空间中以正概率存在，从而证明了那个结构的存在性 . 有兴趣作深入了解的读者，请参看 N. Alon与 J. H. Spencer的专着 .

虽然许多本科生都学过“概率论”（我们称之为“初等概率论”），但是对于概率统计及相关专业研究生的学习，对于概率统计及相关领域（如金融、经济）的学者从事科学研究，“初等概率论”还很不够，为此我们需要学习“高等概率论” .

本书将主要介绍三部分内容：第一部分，测度论基础；第二部分，概率论基础；第三部分，概率极限理论 . 第一部分包括前四章：测度空间与概率空间；可测映射与随机变量；积分与期望；乘积空间与 Fubini定理. 第二部分包括两章：独立性、条件期望、一致可积性；鞅论简介 . 第三部分包括两章：大数定律；中心极限定理. 另外，将用一章介绍 Chebyshev不等式，最后一章介绍概率论领域中的三个着名问题： Gauss相关猜测； Hunt假设(H)与 Getoor猜测；热点猜测 .

测度论是概率论的基础，概率论是统计学的基础；概率极限理论本身是概率论中一个重要分支，同时在许多学科（如统计）中又发挥着重要作用；概率论是学习随机过程、随机微分方程的基础，而随机过程、随机微分方程在金融、经济等众多领域发挥着重要作用 . 由此我们可以说“高等概率论”是概率统计专业研究生的一门非常重要的基础课 .

作者自 2006年春季起连续 9年给数学系硕士研究生讲授“高等概率论” . 本教材是结合自己在讲授过程中的一些体会编写而成的 . 本书具有以下一些特点：

(1)介绍了一些最新的科研成果；

(2)介绍了概率论领域中的几个着名问题；

(3)对许多命题，采用分析法给出证明；

(4)提出了一些思考题供有兴趣的读者思考；

(5)对一些高深的知识或分支，不作详细介绍，只在章节结束时的“进一步阅读”中给出参考文献 .

感谢国家自然科学基金、中央高校基本科研业务费、江苏省自然科学基金、江苏省优势学科经费对我科研的支持，感谢南京大学数学系领导的支持与帮助，感谢家人给予我的爱与鼓励 .

由于作者水平有限，有处理不当的地方，诚请各位专家和读者批评指正 .^[1] 

胡泽春

2014年 5月于南京大学

第 0章概率论的历史简介 .1

第 1章测度空间与概率空间 4

1.1可测空间 .4

1.1.1集类.4

1.1.2生成集类、单调类定理 7

1.2测度与概率 .10

1.2.1定义及性质 10

1.2.2外测度、测度扩张定理 13

1.2.3欧氏空间上的 Lebesgue-Stieltjes测度.19

第 2章可测映射与随机变量 24

2.1定义、性质及构造 24

2.2几种收敛性 .30

2.3随机变量的分布、分布函数 34

第 3章积分与期望 36

3.1定义、性质及变换 36

3.2 Riemann积分与 Lebesgue积分43

3.3积分收敛定理 .45

3.4不定积分与符号测度 49

3.5 Lp空间56

第 4章乘积空间与 Fubini定理 .64

4.1乘积测度与 Fubini定理64

4.2由s有限核产生的测度与积分 .68

4.3无穷乘积空间上的概率测度 70

第 5章独立性、条件期望、一致可积性 75

5.1独立性, 0-1律.75

5.1.1事件与随机变量的独立性 75

5.1.2 Borel-Cantelli引理、 Borel 0-1律.77

5.1.3 Kolmogorov 0-1律81

5.1.4 Hewitt-Savage 0-1律.82

5.2条件期望与条件概率 83

5.2.1条件期望的定义 83

5.2.2条件期望的性质 86

5.2.3条件期望的计算、 Bayes法则89

5.2.4条件概率、条件独立性 91

5.2.5正则条件概率 93

5.3随机变量的一致可积性 .96

第 6章鞅论简介 101

6.1定义、性质、停止定理 .101

6.2不等式106

6.3鞅收敛定理、上鞅 Doob分解定理 .109

6.4连续鞅的定义及一点说明 .113

6.5鞅论在保险精算中的应用 .114

第 7章大数定律 117

7.1弱大数定律 .117

7.2强大数定律 .122

7.2.1一些准备 .122

7.2.2收敛定理 .124

7.3随机级数的收敛 129

7.4重对数律 .132

第 8章中心极限定理 .133

8.1测度的弱收敛、随机变量的依分布收敛 .133

8.2特征函数 .139

8.3分布函数与特征函数的收敛性 141

8.4中心极限定理 .146

8.5稳定分布 .149

8.6无穷可分分布 .151

8.7 Skorokhod构造与其他收敛性定理 .153

第 9章 Chebyshev不等式 155

9.1经典 Chebyshev不等式及多元推广 155

9.2 Hilbert空间值 Chebyshev不等式 156

9.3 Banach空间值 Chebyshev不等式156

第 10章着名问题介绍 .161

10.1 Gauss相关猜测 161

10.1.1猜测的具体内容及等价形式 .161

10.1.2早期历史 162

10.1.3近年来的主要进展 .163

10.2 Hunt假设(H)与 Getoor猜测165

10.2.1 Hunt假设(H)及相关位势原理 .165

10.2.2 Getoor猜测及已有成果 .167

10.2.3我们在 Getoor猜测方面的工作 .169

10.2.4待解决的一些问题 .173

10.3 热点猜测 .173

10.3.1猜测的具体内容 .173

10.3.2猜测的进展 175

索引178

参考文献 182