0.999…

在完备的实数系中，循环小数0.999…，也可写成、或表示一个等于1的实数。也就是说，“0.999…”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被专业数学家所接受，并在教科书中讲授。这个等式已有各种各样的证明，它们各有不同的严谨性、背景假设，且都蕴含实数的阿基米德性质、历史文脉、以及目标受众。

(直觉告诉我们，0.99…≠1。数学家告诉我们，0.99…=1。完全可以根据数学运算证明直觉是正确的。

可以根据运算、特别是微积分的重要极限的结果确定0.99…不等于1。其中最关键的一点是：1－0.99…=1/10ⁿ（n→∞）。但是不难证明1/10ⁿ（n→∞）≠0 。

因为0乘以任何数都等于0。但是 则不然。

请看〈前苏联〉着名的数学家鲁金教授关于无穷小的“最重要的性质”的论述的注解中的说明：“所证明的无穷小的第一个性质必须要求：所加起来的无穷小的总个数m，一直是固定的，即有限的。

这个限制是绝对不可省的，因为，假若所加起来的无穷小的个数m不是固定的（即非有限的），例如当每项趋近零时，这个个数也无限增大起来，那么第一个性质就可能不对了。在这种情况下，这些无穷小之和α+β+γ+…+μ可能不再是一个无穷小。这种情况正是积分学里经常用到的。

例如，我们有n个变量α，β，γ，…，ν，每个都等于1/n，即

α=1/n，β=1/n ，γ=1/n，…，ν=1/n。

当它们的个数无限增加时，每一个量显然都趋近于0，所以它们都是无穷小。但另一方面，它们的和

σ=α+β+γ+…+ν=1/n+1/n+1/n+…+1/n=n×1/n=1，

无论何时，恒等于1。” 注：^[1]  〈苏联〉鲁 金《微分学》谭家岱 张理京译 高等教育出版社 1954年上海第1版§39，61-62页。

⑶根据鲁金的这个注解，容易判定：

1/10ⁿ×10ⁿ=1 （n→∞）。

所以1/10ⁿ（n→∞）≠0。

这个结果彻底否定了0.99…=1。

在数学中，一个反例足以推翻原来的结论。

求1/e的运算进一步证明了0.99…≠1是确实的上面的结果在微积分的运算中得到了实际应用。微积分中的一个非常重要的极限是：

可以根据这个结果进一步证明0.9…≠1。如下。① 前提1：

。 （1）

② 前提2：

根据这个结果，容易推出下面的结果：

（3）（^[2]  求e 及(1/e)的运算可以参考〈美〉R·柯朗 H·罗宾 着 I·斯图尔特修订《什么是数学》增订版 左 平 张饴慈译 复旦大学出版社2005年2月第2版，特别是第8章4节。补正的关键只不过是利用10ⁿ 及(1/10ⁿ)代换了式中的n及 (1/n) 而已，相当于一道习题。这是数学中常见的代换，没有什么神秘。这个运算结果在详细一些的微积分教科书中也可以查到。所以这个证明没有问题。只是一般人甚至鲁金也没有想到可以利用

，然后把它带入求（1/e）的运算结果，从而证明了0.999…≠1 。）注意：现在分别利用

和

代替（2）中的1/n和n。显然结果不变：

这是整个证明的关键。详细写出如下：在n=1 时：（1-1/10）¹⁰= 0.9¹⁰ = 0.3486784401 . （5）式中出现了（1-1/10）的10次方，也就是0.9的10次方。在n=2时：（1-1/100）¹⁰⁰= 0.99¹⁰⁰ = …. （6）现在的式中是（1-1/10²）的10²方，即0.99的100次方。在n=3时：（1-1/1000）¹⁰⁰⁰= 0.999¹⁰⁰⁰ = …. （7）现在是（1-1/10³）即0.999的10³次方了。这样详细写的目的是为了突出这个系列运算与0.9，0.99，0.999，…系列有关系。……最后，在n→∞的时候，就得到：

请特别注意，其中第二项说明它就是0.999…这个数的10ⁿ次方，所以一定要强调：0.999…=1-1/10ⁿ。为了更明确，把（8）式展开。读者可以查阅有关二项式定理或者二项式展开式的公式，自己计算。

注意展开式中的第二项，即是（不考虑符号）：

显然，这里应用了前面已经证明的结果。把（1）与（8）比较，显然：

从而：∴0.999…≠1 。 （10）证毕。

证明:0.99…=1的一个最常用的证明是利用1÷3=1/3= 0.333…。其中存在明显的错误。正确的写法如下： 1÷3=1/3 （1）

=（0.9+0.1）÷3 [=(1- 1/10+1/10)÷3] = 0.3+0.1÷3 （2）

=0.3+（0.09+0.01）÷3= 0.33+0.01÷3 （3）

=… (4)

这才是正确的、严格的写法。容易看出，1/3= 0.333…的写法其实只是忽略了（5）中的最后一项

，却没有忽略前面一个括弧中的10ⁿ那一项。同样都是1/10ⁿ，只忽略后面一项，而保留前面一项，显然是不合逻辑的。

而1÷3=1/3= 0.333… （7）的错误写法只可以唬住小学生。对于学习过数学中的指数表示法的中学生和大学生来说，（1）到（5）的写法的正确性不言而喻！所有关于0.99…=1的证明中都存在错误。限于篇幅，不一一驳斥。

0.999…≠1带来的问题容另行解答0.999…≠1的结论是正确的。不应该再怀疑了。0.999…≠1的结论有颠覆性，会带来若干新问题0.999…显然不是有理数，而是无理数。鲁金教授对无限循环小数有怀疑。有道理。见下面括弧1。分数应该利用科学数字表示法表示，即利用有限小数加利用指数表示的小数，例如前面的这样的写法才是完全正确的。这样也符合牛顿的意见：“在数学中即使最微小的误差也不应该忽略。”^[3]  .牛顿《曲线求积术》，转引自李文林主编《数学珍宝》[M] 科学出版社 北京1998年10月第1版284）)（^[1]  〈苏联〉鲁 金《微分学》谭家岱 张理京译 高等教育出版社 1954年上海第1版，§11，13页。详细如下：“在OM与单位长度可通约时，也就是，在M点具有某个有理数p/q的横坐标时，我们讲的度量步骤显然也是适用的。只有在这种情况下，像初等数学中所讲的，不尽小数 才会是循环的（纯粹的或混合的）。一般算术中，在这种情况下，写作下面的惯例等式^①

(下面略。李长白注)”鲁金在注释中写道：“① 要是注意到这个等式的惯例性，读者就对了：真正的等号‘=’只有当它的左右两边都是真正的数时，才是写得合适的。这里左边是个真正的数p/q；而右边不是数，只是一个不尽符号，是用来给出左边那个真正的数的十进位近似值。只有当从某个号码k起数码a_n都等于0时：

这个惯例等式才变成真正等式。在这种情况下，我们有真正的等式：

,

其中右边的和是由有限项所组成的，它们全部可以实际加起来。”）

这类展开式的非唯一性不仅限于十进制系统。相同的现象也出现在其它的整数进位制中，数学家们也列举出了一些1在非整数进位制中的写法。这种现象也不是仅仅限于1的：对于每一个非零的有限小数，都存在另一种含有无穷多个9的写法。由于简便的原因，我们几乎肯定使用有限小数的写法，这样就更加使人们误以为没有其它写法了。实际上，一旦我们允许使用无限小数，那么在所有的进位制中都有无穷多种替代的写法。例如，18.3287与18.3286999…、18.3287000…，以及许多其它的写法，都表示相同的数。这些各种各样的等式被用来更好地理解分数的小数展开式的规律，以及一个简单分形图形──康托尔集合的结构。它们也出现在一个对整个实数的无穷集合的经典研究之中。

在过去数十年里，数学教育的研究人员研究了学生们对该等式的接受程度。许多学生至少在开始时怀疑或拒绝该等式。很多学生被老师、教科书和如下的术算推论说服接受两者是相等的。尽管如此，他们常感觉不到足够的舒服安心，而提出进一步的辩解。学生们否定或肯定该等式的原因，通常是基于对实数的一些错误直观；例如，每一个实数都有一个唯一的小数展开式，例如非零的无穷小应该存在，或者0.999…的展开式最终会停止。我们可以构造出符合这些直观的数系，但只能在用于直观数学中的标准实数系统之外进行。的确，某些设计含有“刚刚小于1”的数，不过，这些数一般与0.999…无关（因为与之相关的在理论上和实践上都没有什么用途），但在数学分析中引起了相当大的关注。

0.999…是书写于小数记数系统中的一个数，一些最简单的0.999… = 1的证明都依赖于这个系统方便的算术性质。大多数的小数算术──加法、减法、乘法、除法，以及大小的比较，使用与整数差不多的数位层次的操作。与整数一样，任何两个有限小数只要数位不同，那么数值也一定不同。特别地，任何一个形如0.99…9的数，只要只得有限个 9 ，这些 9 最终会停止，则该数都是严格小于1的。

误解0.999…中的“…”（省略号）的意义，是误解0.999… = 1的其中一个原因。这里省略号的用法与日常语言和0.99…9中的用法是不同的，0.99…9中的省略号意味着有限的部分被省略掉了。但是，当用来表示一个循环小数的时候，“…”则意味着无限的部分被省略掉了，这只能用极限的数学概念来阐释。作为使用传统数学的结果，指派给记数表示式“0.999…”的值定义为一个实数，该实数为收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，…）的极限。“0.999…”是一个数列的极限，从这方面讲，对于0.999…=1这个等式就很直观了。

与整数和有限小数的情况不一样，其实记数法也可以多种方式表示单一个数值。例如，如果使用分数， 。但是，一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示。如果有两种方法，那么一种一定从某一位开始全是循环重复的9，而另外一种则一定从某一位开始就全是循环重复的零。

0.999… = 1有许多证明，它们各有不同的严谨性。一个严谨的证明可以简单地说明如下。考虑到两个实数其实是同一个的，当且仅当它们的差等于零。大部分人都同意，0.999…与1的差，就算存在也是非常的小。考虑到以上的收敛数列，我们可以证明这个差的大小一定是小于任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德性质），唯一具有这个性质的实数是零。由于差是零，可知 1 和 0.999… 是同一数。用相同的理由，也可以解释为什么 ；而该等式乘上3倍后成为“0.999… = 1”。

在不考虑柯西序列的情况下：

.

结果为 0.000…，也就是后面的 0 无限循环。这两个数目在这里是无限循环小数，小数点后五位之后还会一直填上 0，始终无法找到最后一位来填上 1。

1.000… - 0.999… = 0.000… = 0，故 1 = 0.999… 。

这假设了 0.999… 没有“最后的9”、这些无限循环小数的小数点后的位数为可列的（可以由第一个数位一个位一个位数下去而于有限次数到任一个数位）（这已得出 0.999… 没有“最后的9”）、 1.000… - 0.999… 的结果存在小数表示式。运算结果将没有“最后的1”，所以1与0.999…没有差值。

另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10 × 0.999…等于9.999…，它比原来的数大9。

考虑从9.999…减去0.999…。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9 - 9，也就是0。但末尾的零并不能改变一个数，所以相差精确地是9。最后一个步骤用到了代数。设0.999… = c，则10c − c = 9，也就是9c = 9。等式两端除以9，便得证：c = 1。用一系列方程来表示，就是

c=0.999...

10c=9.999...

10c-c=9.999...-0.999...

9c=9

c=1

0.999...=1

以上两个证明中的位数操作的正确性，并不需要盲目相信，也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的。这个关系，可以用几个等价的方法来表示，已经规定了0.999…和1.000…都表示相同的数。

由于0.999…的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实数分析的标准定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999…的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：

小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以500中的5是50中的5的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。

也许小数展开式最常见的发展，是把它们定义为无穷级数的和。一般地：

对于0.999...来说，我们可以使用等比级数的有力的收敛定理：

如果|r|<1，则

由于0.999...是公比为 的等比级数的和，应用以上定理，很快就可以得出证明了：

，

这个证明（实际上是10等于9.999...）早在1770年就在瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的作品《Elements of Algebra》（《代数的要素》）中出现了。

等比级数的和本身，是一个比欧拉还要早的结果。一个典型的18世纪的推导用到了逐项的操作，类似于以上的代数证明。直到1811年，Bonnycastle的教科书《An Introduction to Algebra》（《代数的介绍》）依然使用这种等比级数的方法来证明对0.999...使用的策略是正当的。在19世纪，这种随随便便的求和方法遭到了反对，这样便导致了现今仍然占有支配地位的定义：一个无穷级数的和定义为数列的部分和的极限。该定理的一个对应的证明，明确地把这个数列计算出来了；这可以在任何一本以证明为基础的微积分或数学分析的教科书中找到。

对于数列（x0，x1，x2，...）来说，如果当n增大时，距离|x−xn|变得任意地小，那么这个数列就具有极限x。0.999...=1的表述，可以用极限的概念来阐释和证明：

最后一个步骤— —通常由实数的阿基米德原理来证实。这个以极限为基础的对0.999...的看法，有时会用比较引人注意但不太精确的话语来表达。例如，在1846年的美国教科书《大学算术》（《The University Arithmetic》）中有这么一句：“0.999+，到无穷远处等于1，这是因为每加上一个9，都会使它的值更加接近于1”（.999+,continued to infinity =1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）；在1895年的美国教科书《Arithmetic for Schools》（《学校算术》）中也有：“...如果有非常多的9，那么1和0.99999...的差就小得难以想像了”（“...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999... becomes inconceivably small”）。这种启发式的教学法，常常被学生们误解为0.999...本身就小于1。

参见：区间套

以上的级数定义，是一个用小数展开式来定义实数的简单的方法。还有一种补充的方法，是相反的过程：对于一个给定的实数，定义一个小数展开式。

如果知道一个实数x位于闭区间[0,10]内（也就是说，这个实数大于或等于0，而小于或等于10），我们就可以想象把这个区间分成十个部分，只在端点处相重叠：[0,1]、[1,2]、[2,3]，依此类推，直到[9,10]。实数x一定是属于这十个区间的一个；如果它属于[2,3]，我们就把数字“2”记录下来，并把这个区间再细分成十个子区间：[2,2.1]、[2.1,2.2]、...、[2.8,2.9]、[2.9,3]。把这个过程一直继续下去，我们便得到了一个无穷的区间套序列，由无穷个数字b0、b1、b2、b3、...来标示，并记

在这种形式中，1=1.000...而且1=0.999...的事实，反映了1既位于[0,1]，又位于[1,2]，所以我们在寻找它的数字时，可以选择任意一个子区间。为了保证这种记法没有滥用“=”号，我们需要一种办法来为每一个小数重新构造一个唯一的实数。这可以用极限来实现，但是还有其它的方法。

一个简单的选择，是区间套定理，它保证只要给出了一个长度趋近于零的闭区间套序列，那么这些区间套的交集就正好是一个实数。这样，b0.b1b2b3...便定义为包含在所有的区间[b0,b0+1]、[b0.b1,b0.b1+0.1]，依此类推的唯一的实数。而0.999...就是位于所有的区间[0,1]、[0.9,1]、[0.99,1]、[0.99...9,1]（对于任意有限个9）的唯一的实数。由于1是所有这些区间的公共元素，因此0.999…=1。

区间套定理通常是建立在一个更加基本的实数特征之上的：最小上界的存在。为了直接利用这些事物，我们可以把b0.b1b2b3...定义为集合{b0，b0.b1，b0.b1b2，...}的最小上界。然后我们就可以证明，这种定义（或区间套的定义）与划分的过程是一致的，又一次证明了0.999...=1。汤姆·阿波斯托尔得出结论：

一个实数可以有两种不同的小数表示法，仅仅是两个不同的实数集合可以有相同的最小上界的一个反映。("The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum.")

有些方法用公理集合论明确把实数定义为一定的建立在有理数上的结构。自然数──0、1、2、3，依此类推──从零开始并继续增加，这样每一个自然数都有一个后继者。我们可以把自然数的概念延伸到负数，得出所有的整数，并可以进一步延伸到比例，得出所有的有理数。这些记数系统伴随着加法、减法、乘法和除法的算术。更加微妙地，它们还包括排序，这样一个数就可以与另一个进行比较，并发现是大于、小于，还是等于。

从有理数到实数的一步，是一个很大的延伸。至少有两种常见的方法来达到这一步，它们都在1872年出版：戴德金分割，以及柯西序列。直接用到这些结构的0.999...=1的证明，现时已经无法在实数分析的教科书中找到了；最近几个年代的趋势，是使用公理化的分析。即使提供了这样的一个结构，它也通常被用来证明实数的公理，从而为以上的证明提供证据。然而，有些作者表达了从一个结构开始才是逻辑上更恰当的想法，这样得出的证明就更加完备了。

在戴德金分割的方法中，每一个实数x定义为所有小于x的有理数所组成的无穷集合。比如说，实数1就是所有小于1的有理数的集合。每一个正的小数展开式很容易决定了一个戴德金分割：小于某个展开阶段的有理数的集合。所以实数0.999...是有理数r的集合，使得使得r<0，或r<0.9，或r<0.99，或r小于其它具有 形式的数。0.999...的每一个元素都小于1，因此它是实数1的一个子集。反过来，1有一个元素是有理数 ，其中 ， 。但我们有 ，所以 也是0.999...的一个元素。由于0.999...和1包含相同的有理数，因此它们是相同的集合：0.999...=1。

把实数定义为戴德金分割，首先由数学家戴德金（Richard Dedekind）在1872年出版。以上把每一个小数展开式分配一个实数的方法，应归于弗雷德·里奇曼在《Mathematics Magazine》（《数学杂志》）上发表的一篇名为“Is 0.999...=1?”（“0.999...=1吗？”）的演讲稿，主要是为大学的数学教师，尤其是初级/高级程度，以及他们的学生而作。里奇曼注意到，在有理数的任何一个稠密子集中取戴德金分割，都得到相同的结果；特别地，他用到了十进分数（分母为10的幂的分数），这样便更快得出证明了：“所以，我们看到，在实数的传统定义中，方程0.9*=1在一开始就建立了。”把这个步骤再作进一步的修改，便得到了另外一个结构，里奇曼对这个结构更感兴趣；参见以下的“其它记数系统”。

更多资料：柯西序列

另外一种构造实数的方法，间接地用到了有理数的排序。首先，x和y之间的距离定义为绝对值|x−y|，其中绝对值|z|定义为z和−z的最大值，因此总是非负的。这样实数便被定义为关于这个距离的具有柯西序列性质的有理数序列。也就是说，每一个实数都是一个柯西收敛的数列（x0，x1，x2，...)。这是一个从自然数到有理数的映射，使得对于任何正有理数δ，总存在一个N，使得对于所有的m、n>N，都有|xm−xn|≤δ。（两项之间的距离变得比任何正的有理数都要小。） 如果（xn）和（yn）是两个柯西数列，那么如果数列（xn−yn）有极限0，这两个数列便定义为相等的。把小数b0.b1b2b3...拆开来，便得到了一个有理数序列，它是柯西序列；这个序列对应的实数被定义为这个小数的值。所以，在这种形式中，我们的任务就是要证明，有理数序列

有极限0。对于n=0、1、2、...，考虑数列的第n项，我们需要证明

这个极限是大家都明白的；一个可能的证明，是在数列的极限的定义中，对于ε=a/b>0，我们可以取N=b。所以，这又一次证明了0.999...=1。

把实数定义为柯西序列，首先由爱德华·海涅（Eduard Heine）和格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）独立发表，也是在1872年。以上的小数展开式的方法，包括0.999...=1的证明，则主要是得自Griffiths和Hilton在1970年的作品《A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation》（《一本经典数学的综合教科书：一个当代的阐释》）。这本书是特别为了以当代的眼光回顾一些熟悉的数学概念而作的。

0.999...=1的证明，立刻可以进行两种推广。首先，对于每一个非零的有限小数（也就是说，从某一位开始全是零），都存在另外一个与其相等的数，从某一位开始全是9。例如，0.24999...等于0.25，就像我们考虑的特殊情况。这些数正好是十进分数，而且是稠密的。

其次，一个类似的定理可以应用到任何一个底数或进位制。例如，在二进制中，0.111...等于1；而在三进制中，0.222...等于1。实数分析的教科书很有可能略过0.999...的特殊情况，而从一开始就介绍这两种推广的一种或两种。

1的其它表示法也出现在非整数进位制中。例如，在黄金进制中，两个标准的表示法就是1.000...和0.101010...，此外还有无穷多种含有相邻的1的表示法。一般地，对于几乎所有的1和2之间的q，在q进制中都有无穷多个1的展开式。而另一方面，依然存在不可数个q（包括所有大于1的实数），使得在q进制中只有一种1的展开式，除了显然的1.000...。这个结果首先由保罗·埃尔德什、Miklos Horváth和István Joó在大约1990年获得。1998年，Vilmos Komornik和Paola Loreti确定了具有这种性质的最小的进位制──Komornik-Loreti常数q=1.787231650...。在这个进位制中，1=0.11010011001011010010110011010011...；其数字由图厄-摩斯数列给出，不是循环小数。

一个更加深远的推广，提到了最一般的进位制。在这些进位制中，一个数也有多种表示法，在某种意义上来说难度甚至更大。例如：

在平衡三进制系统中，1/2=0.111...=1.111...。

在阶乘进位制系统中，1=1.000...=0.1234...。

Marko Petkovšek证明了这种歧义是使用进位制的必然结果：对于任何一个把所有实数命名的系统，总有无穷多个实数有多种表示法，而这些实数所组成的集合又是稠密的。他把这个证明称为“一个指导性的基本点集拓扑学的练习”：它包含了把进位制的集合视为斯通空间，并注意到它们的实数表示法可以由连续函数给出。

0.999...的其中一个应用，出现在基本数论中。1802年，H·古得温出版了一份观察资料，描述了分母为一定的素数的分数的小数展开式中9的出现。例子包括：

1/7=0.142857142857...，而142+857=999。

1/73=0.0136986301369863…，而0136+9863=9999。

E·米迪在1836年证明了关于这类分数的一个一般的结果，现称为米迪定理。当初出版时没有写得很清楚，我们也不知道他的证明是不是直接提到了0.999...，但至少有一个W·G·莱维特的现代证明是这样的。如果我们可以证明，一个具有形式0.b1b2b3...的小数是正整数，那么它就一定是0.999...，这也就是定理中9的来源。在这个方向上继续做研究，就可以得出诸如最大公因子、同余、费马素数、群元素的目，以及二次互反律等概念。

回到实分析的主题上，三进制中的类似等式0.222...=1在刻划康托尔集合──一个最简单的碎形的特征中，扮演了一个十分重要的角色： 一个单位区间中的点位于康托尔集合内，当且仅当它在三进制中可以只用数字0和2来表示。

小数中的第n位反映了在第n个阶段时点的位置。例如，点2/3可以如常地表示为0.2或0.2000...，这是因为它位于第一个删除部分的右面，以及以后所有的删除部分的左面。点1⁄3则不表示为0.1，而表示为0.0222...，这是因为它位于第一个删除部分的左面，以及以后所有的删除部分的右面。

重复的9还出现在另外一个康托尔的研究成果中。在应用他在1891年发表的对角论证法来证明单位区间的不可数性时，必须要考虑到这种因素。这种证明需要根据小数展开式来断言两个实数是不同的，所以我们需要避免诸如0.2和0.1999...之类的数对。一个简单的方法把所有的实数表示为无限小数；相反的方法便排除了无穷多个9的可能性。一个可能更加接近于康托尔原先的证明的变体，实际上使用了二进制，把三进制展开式转换为二进制展开式，我们也可以证明康托尔集合的不可数性。

学习数学的学生往往拒绝接受0.999...=1的等式，其原因有很多，从根本不相同的外观，到对极限概念的深度疑虑，乃至对无穷小的本性的异议。有不少因素，造成了这种混淆：

这些想法在标准实数系（指具有完备性的）中都是错误的，但在其它数系中则有可能是正确的（要求相应数系不具备阿基米德性，因为阿基米德性要求数系中没有非零无穷小）。这些系统要么是为一般的数学用途而发明，要么就是作为指导性的反例，使人们更好地理解0.999...。 许多这些解释都是大卫·塔尔教授发现的，他研究了造成学生们误解的教导方法的特征。他访问了他的学生以决定为什么大多数人在一开始都拒绝接受该等式，发现“学生们仍然继续把0.999...视为一个越来越接近1的数列，而不是一个定值，因为‘你没有指定它有多少位’或‘在所有小于1的小数中，它是最大的数。’”

在所有初等的证明中，用0.333...=1⁄3乘以3表面上是使学生们迫不得已接受0.999...=1的一个成功的策略。但是，面对着对第一个等式的相信以及对第二个等式的怀疑，有些学生要么就开始怀疑第一个等式，要么干脆就感到灰心丧气了。更加复杂的方法，也不是十分有效的；有些学生完全可以应用严格的定义，但当他们被一个高等数学的结果，包括0.999...所震惊时，依然退回到直觉的形象上去了。例如，有一个学习实数分析的学生，能够用最小上界的定义来证明0.333...=1⁄3，但仍然坚称0.999...<1，基于他早前对长除法的理解。其他学生也能够证明1⁄3=0.333...，但是，面对着以上的分数证明，仍然坚称“逻辑”能代替数学运算。

约瑟·马祖尔讲了一个故事：有一个十分聪明的学习微积分的学生，他“对我在课堂上讲的几乎所有内容都要提出一番异议，但对他的计算器深信不疑”。他相信，九个数字就是学习数学所需要的一切，包括计算23的平方根。这位学生对0.99...=1的极限证法感到别扭，称其为“一个难以想象的无限增长过程”。

作为埃德·杜宾斯基的数学学习的“APOS理论”的一部分，杜宾斯基和他的合作者在2005年提出：任何一个学生，只要把0.999...设想为一个有限的、不确定的数串，与1的差是无穷小，那么他就“还没有对无限小数形成一个完整的过程概念”。其他对0.999...有了完整的过程概念的学生，仍不一定能把这个过程“概括”成一个“对象概念”，就像他们对1的对象概念那样，所以仍然觉得0.999...和1是不一致的。杜宾斯基还把这种概括的能力与把1⁄3视为一个独立的数，以及与把实数的集合视为一个整体联系起来。

随着互联网的崛起，关于0.999...的讨论已经冲出了教室，并走向了新闻组和信息版，包括那些名义上几乎与数学无关的信息版。在新闻组sci.math中，辩论0.999...是一项“受欢迎的运动”，也是常见问答集之一。常见问答集涵盖了1⁄3、乘以10、还有极限的证明，也间接地提到了柯西序列。

一个2003年版的报纸专栏The Straight Dope通过1⁄3和极限讨论了0.999...，并谈到了误解：

我们当中的低级灵长类动物仍然在抗拒，说：0.999...其实不是表示一个数，而是表示一个过程。我们必须把那个过程停止下来，来寻找那个数，这样0.999...=1的等式便土崩瓦解了。真是一派胡言。（The lower primate in us still resists, saying: .999~ doesn't really represent a number, then, but a process. To find a number we have to halt the process, at which point the .999~ = 1 thing falls apart.Nonsense.）

The Straight Dope在自己的信息版引用了另外一个不明的信息版中的讨论，那个信息版“大部分是关于视频游戏的”。0.999...的问题在暴雪娱乐的论坛的头七年也是一个非常受欢迎的话题，以致于该公司在2004年的愚人节不得不发布了一则“新闻”，声明0.999...就是1：

我们对永远停止对这件事的讨论感到十分激动。我们亲眼目睹了对0.999...是否等于1的痛心和关心，并对以下的证明最终为我们的顾客解决了问题感到十分自豪。（We are very excited to close the book on this subject once and for all. We've witnessed the heartache and concern over whether .999~ does or does not equal 1, and we're proud that the following proof finally and conclusively addresses the issue for our customers.）

然后便提供了两个证明，一个是极限的证明，另一个是乘以10的证明。

虽然实数形成了一个非常有用的数系，把“0.999...”解释为一个实数的决定毕竟还是一个约定，蒂莫西·高尔斯在《Mathematics: A Very Short Introduction》（《数学：一个非常简短的介绍》）中提到，0.999...=1的等式也是一个约定：

然而，这个约定决不是随意取的，因为如果不采用这种记数系统，我们就被迫得要么发明一些新奇的东西，要么抛弃大家熟悉的算术规则。（However, it is by no means an arbitrary convention, because not adopting it forces one either to invent strange new objects or to abandon some of the familiar rules of arithmetic.）

我们可以用不同的规则或新的事物来定义其它记数系统；在某些数系中，以上的证明便需要重新解释。我们就有可能发现，在某一个给定的数系中，0.999...和1并不一定就是相等的。然而，许多数系都是实数系的延伸，而不是独立的替代物，所以0.999...=1仍然成立。就算是在这类数系中，我们依然值得去检查其它的数系，不仅仅为了知道0.999...是怎样表现的（如果“0.999...”既有意义又不含糊），也为了知道相关现象的表现。如果这种现象与实数系中的现象不一致的话，那么至少一个建立在这个系统中的假设便一定不成立了。

0.999...=1的证明依赖于标准实数的阿基米德原理：不存在非零的无穷小。也存在不符合阿基米德原理的代数结构，包括标准实数的各种各样的替代品。0.999...的意义与我们使用的结构有关。例如，在对偶数中，引进了一个新的无穷小单位ε，就像复数系统中的虚数单位i一样，但是 。这样便得出了一个在自动微分中十分有用的结构。我们可以给予对偶数一个字典序，这样ε的倍数就不符合阿基米德原理。但是，要注意到，作为实数的延伸，在对偶数中仍然有0.999...=1。尽管ε在对偶数中存在，ε/2也存在，所以ε就不是“最小的正对偶数”。确实是这样，在实数中，并不存在这类的数。

另外一种构造标准实数的替代品的方法，是使用部目理论和替代的逻辑，而不是集合论和经典的逻辑（一种特殊情况）。例如，在光滑无穷小分析中，就存在没有倒数的无穷小。

非标准分析因包含了一个有完整无穷小序列的记数系统而众所周知，它提供了一个不同的，也许是更加直观的，对微积分的处理。A.H.Lightstone在1972年提供了一个非标准小数展开式的发展，其中每一个位于(0,1)之内的扩展的实数，都有一个唯一的扩展的小数展开式：数列0.ddd...；...ddd...，由扩展的自然数作索引。在这种形式中，0.333...有两种自然的展开式，都不与1/3相差无穷小：

0.333...；...000...不存在，而

0.333...；...333...正好等于1/3。

组合博弈论也提供了替代的实数，无穷的蓝-红Hackenbush就是一个相关的例子。1974年，Elwyn Berlekamp描述了一个Hackenbush字串与实数的二进制展开式之间的对应关系，由数据压缩的想法所促动。例如，Hackenbush字串LRRLRLRL...的值是 。然而，LRLLL...的值（对应着 ）则与1相差无穷小。两个数的差是超实数1/ω，其中ω是第一个无穷序数；相关的博弈是LRRRR...或0.000...₂。

另外一种也可以使以上证明不成立的方法，就是1−0.999...根本就不存在，因为减法并不一定就是可能的。具有加法运算但没有减法运算的数学结构包括可交换半群、可交换幺半群，以及半环。里奇曼考虑了两种这类的系统，使得0.999...<1。 首先，里奇曼把非负的“小数”定义为字面上的小数展开式。他定义了字典序和一种加法运算，注意到0.999...<1仅仅因为在个位数0<1，但对于任何一个有限小数x，都有0.999...+x=1+x。所以“小数”的一个独特之处，是等式两边不能同减一个数；另外一个独特之处，就是没有“小数”对应着1⁄3。把乘法也定义了以后，“小数”便形成了一个正的、全序的、可交换的半环。

在定义乘法的过程中，里奇曼还定义了另外一种记数系统，他称之为“切割D”，它是小数的戴德金切割的集合。通常用这种定义便可以得出实数，但对于小数d他既允许切割（−∞,d），又允许“主切割”（−∞,d]。这样做的结果，就是实数与“小数”“不舒服地住在一起”。这个系统中也有0.999...<1。在切割D中不存在正的无穷小，但存在一种“负的无穷小”── 0−，它没有小数展开式。里奇曼得出结论，0.999...=1+0−，而方程“0.999...+x=1”则没有解。

问到关于0.999...的时候，初学者常常相信应该有一个“最后的9”，也就是说，相信1−0.999...等于一个正数，可以写为“0.000...1”。不管那有没有意义，目标都是明确的：把1加在0.999...中的最后的9上，就会把所有的9变成0，并在个位数留下一个1。如果考虑到其它的原因，这种想法便不成立了，这是因为在0.999...中，并不存在“最后的9”。对于包含最后的9的无穷多个9，我们必须从别的地方去寻找。

p进数是在数论中引起兴趣的又一个数系。像实数那样，p进数可以从有理数通过柯西序列得到；但是，这种结构使用了另外一种度量，0与p之间的距离比0与1的距离还要近，而0与p^n的距离又比0与p的距离近。对于素数p来说，p进数便形成了一个域，而对于其它的p，包括10来说，则形成了一个环。所以在p进数中可以进行算术，这种记数系统也不存在无穷小。

在10进数中，类似于小数展开式的事物位于小数点的左面。10进展开式...999确实有一个最后的9，而没有第一个9。我们可以把1加在个位数上，这样进位之后就只剩下0了：1+...999=...000=0，所以...999=−1。另外一种推导用到了等比级数。“...999”所指的无穷级数在实数中不收敛，但在10进数中收敛，所以我们可以使用大家熟悉的公式：

（与前面的级数比较。）

第三种推导是一个七年级学生发明的，他对老师所讲的0.999...=1的极限证明感到怀疑，但因而产生了灵感，把以上乘以10的证明应用在相反的方向上：如果x=...999，则10x=...990，因此10x=x−9，所以x=−1。

作为一个最后的延伸，由于0.999...=1（在实数中），而...999=−1（在10进数中），那么我们可以“盲目、大胆地摆弄符号”，把两个等式相加起来，得出：...999.999...=0。这个等式在10进展开式中和标准小数展开式中都是没有意义的，但假如我们研究出一种“双小数”的理论，其中小数点左面和右面都可以无限延伸，那么这个等式便是有意义和正确的。

小数表示法、无穷大、极限、非正式数学、非标准分析、实数分析、级数