应变能

以一维问题为例，一个截面积为A、长度为L的等截面直杆在轴向外力P1的作用下伸长 （图1）。如果不考虑变形过程中的动力效应和温度效应，则外力作的功W全部贮存到杆中，变成了杆的应变能U，其值为：

式中P为变形过程中与伸长量 对应的载荷。在图2所示的P－ 曲线中，曲线下方的面积相当于杆中的应变能。而和曲线上方的面积相应的为余应变能（简称余能），记为U*，其值为：

式中V=LA为杆的体积； =P/A为杆中的应力； = /L为杆中的应变； 1、 1分别为P1、 1对应的应力和应变。如果杆的材料为线弹性的（即应力和应变成正比），则应变能和余能相等，即

式中E为弹性模量。

在三维问题中，有六个独立的应力分量和六个独立的应变分量。在小变形的情况下，每个应力分量在相应的应变分量上作功，因此应变能和余能的表达式都包括六项：

式中xx、yy、zz、xy、xz、yz为物体在加载过程中的应力分量；xx、yy、zz、xy、xz、yz分别为与上述应力分量相应的应变分量；积分上限的下标1表示加载终点。对于线弹性体则有：